九点圆的简单证法,九点圆是什么

2022-01-13 02:30:45来源:未知作者: admin阅读量:

作图如下:△ABC的BC边垂足为D,BC边中点为L,
  AC边垂足为E,AC边中点为M,AB边垂足为F,AB边中点为N,
  垂心为H,AH,BH,CH中点分别为P,Q,R
  (思路:以PL为直径,其它任意某点,去证P某L为90°)
  证明:(由中位线)PM∥CH,LM∥AB,又CH⊥AB∴PM⊥LM,又PD⊥LD
  ∴PMDL共圆。
  (由中位线)PR∥AC,LR∥BH,BH⊥AC,所以PR⊥LR
  ∴PMRDL五点共圆。
  PE为Rt△AHE斜边中线
  ∴角PEA等于PAE
  同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC
  ∴∠LEP等于90°
  ∴PEMRDL六点点共圆,PL为直径,同理PFNQL五点共圆,PL为直径
  ∴PEMRDLQNF九点共圆,PL为直径,PL中点(设为V)就是圆心
  下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点
  O为外心,OL平行等于AH一半(这个小定理我就不证明了)所以OL平行等于PH
  OLPH为平行四边形,V是PL中点,就是OH中点 九点圆的来历或许可以由下面的一个性质来说明:
  过△ABC的垂心H任作其外接圆的两条弦PQ与MN,那么HP,HQ,HM,HN的中点共圆。
  由于这两条弦可以任意取,就可以找几条特殊的,刚好是关于九点圆的一般定义。
  
  



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